一道物理小题

没 blog 可写的时候，Neko 给了我一道物理题。

原题：

文字版：

科考人员从山岭前坡向山势险峻的背坡投掷追踪器来跟踪动物活动路径。山岭可简化为如图所示的 \( \triangle{ABC} \)，\( \angle{BAC}=30 \degree \)，\( \angle{ABC} =60 \degree \)，科考人员在前坡的同一点 \(M\) 投掷追踪器。第一次以大小为 \( 5 \sqrt{7}\ ~ \text{m/s} \) 的速度投出，追踪器恰好沿背坡表面向下滑动；改变速度第二次投掷，追踪器刚好水平掠过 \( C \) 点。重力加速度 \( g=10\ ~ \text{m/s}^2 \)，忽略空气阻力，两坡足够长。求：
(1) 第一次掷出时的速度方向与 AC 夹角的正切值\( \tan\alpha\)；
(2) 第二次掷出后，追踪器在背坡落点到 \(C\) 点的距离 \( L\)。

我们用 draw.io 画一画这道题的示意图：

（ 1 ）

以 M 为原点，AC 方向为 x 轴，BC 方向为 y 轴建立直角坐标系。容易发现当追踪器抵达 C 的时候，追踪器在 y 轴上的分速度为 0。

于是可以得到，重力加速度在 y 轴上的分量 \( g_y = g\cos 30 \degree = 5 \sqrt{3} ~ \mathrm{m/s^2}\)，在 x 轴上的分量 \( g_x = g \sin 30 \degree = 5 ~ \mathrm{m/s^2}\)

这样，结合刚才说到的，追踪器抵达 C 点后速度平行于 BC，就得到了两条方程：

$$ v \cos \alpha - g_x t = 0 \ v \sin \alpha - g_y t = - v \sin \alpha $$

其中 t 表示运动时间。

解方程，先将式子化简，

$$ 5 \sqrt{21} \cos \alpha = 10 \sqrt{7} \sin \alpha $$

所以，

$$ \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{5 \sqrt{21}}{10 \sqrt{7}} = \frac{\sqrt{3}}{2} $$

且 t = 2 s。完成。

（ 2 ）

因为我用 draw.io 不熟练，这一节我就不打电子图了，看下面的演算过程吧。如果有需要我会考虑做一份电子图出来。

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这道题的暗示相当明显，追踪器刚好水平掠过 C 点，意思就是，当追踪器经过 C 点时，竖直方向的分速度为 0。也就是经过 C 点后，追踪器做加速度为 g 的平抛运动。记 v’ 为初速度，θ 是 v’ 和水平面的夹角。

先根据 （1）算出来 M 到 C 的距离 l_MC = 10 m。于是，

$$ -(v’ \sin \theta)^2 = 2gl_{MC}\sin 30 \degree $$

解得 v’sinθ = 10 m/s。记掠过 C 点前用时 t₁，

$$ (v’ \sin \theta) t_1 - \frac{1}{2} g t_1^2 = 5 \text{m} $$

解得 t₁ = 1 s。所以，设掠过 C 点时速度为 v_m，

$$ v_m = \frac{l_{MC} \cos 30 \degree}{t_1} = 5 \sqrt{3} ~ \text{(m/s)} $$

后面就是简单地计算平抛运动的位移。

$$ l_x = v_mt_2 \ l_y = \frac{1}{2}gt_2^2 $$

而且我们知道 \( \frac{l_y}{l_x} = \tan 60 \degree = \sqrt{3} \)，因此容易算出，

$$ L = \sqrt{l_x^2 + l_y^2} = \sqrt{(15\sqrt{3})^2+45^2} = 30 \sqrt{3} ~ \text{(m)} $$

完成。

演算过程

这一节主要是为了放我的电子版草稿，以证明我是靠自己做完这道题的。

另外给大家看个挺离谱的东西。我做出来之后突发奇想拿这道题去问了两家 AI：豆包和深度求索。TA 们的解题过程都挺有意思的。

豆包

但凡动脑想一下就觉得不对。前坡已经有 30° 倾斜了，如果 tanα 是根号三就代表 α = 60°，敢情科考人员做的是相对于地面的竖直上抛？

而且 TA 还有模有样地给出了答案和明确。

豆包给的思路是没毛病的，但是计算能力差点意思。（因为豆包跟我一样都是在 M 点建立直角坐标系）

原对话地址🔗

深度求索

答案是正确的，但是用的方法非常复杂，甚至用到了解析几何的知识。在这一题里用解析几何就是杀鸡用牛刀了。

看用时，居然用了接近五分钟。而且其中的一些思考过程比较复杂，就不在这里一一列举。

原对话地址🔗

(The end)